Novel hybrid iterative methods and its convergence analysis

Abstract

The fixed point iterative procedure is one of the techniques employed to solve non-linear equations. This theory has found applications beyond mathematics, spanning fields such as Applied Mathematics, Biology, Chemistry, Economics, Engineering, and Game Theory. We interest in inverstigating the fixed point and approximate iterative approaches for nonlinear mappings. The sequence was created iteratively by a novel algorithm with an inertial technique, and a new hybrid iterative method is also discussed in Banach spaces.

The first purpose of this dissertation is to prove that a novel algorithm with an inertial approach, used to generate an iterative sequence, strongly converges to a fixed point of a nonexpansive mapping in a real uniformly convex Banach space with a uniformly G\^ateaux differentiable norm. Furthermore, zeros of accretive mappings are obtained. The proposed algorithm has been implemented and tested via numerical simulation in MATLAB. The simulation results show that the algorithm converges to the optimal configurations and shows the effectiveness of the proposed algorithm.

The second purpose is to introduce and study a new fixed point iterative method named Picard-SP hybrid iterative method (PSPHM for short). This new iterative process can be seen as a hybrid of Picard and SP iterative processes. We also compare the rate of convergence between the proposed iteration and some other iteration processes in the literature via a numerical example. Specifically, our main result shows that PSPHM converges faster than Noor and SP iterations in Berinde's sense. Moreover, we also established a stable result for our newly developed iterative process. As an application, we apply the proposed method to the visualization of polynomiographs.

The results presented in this paper extend, unify and generalize some previous works from the current existing literature.

กระบวนการทำซ้ำจุดตรึงเป็นหนึ่งในเทคนิคที่ใช้แก้สมการไม่เชิงเส้น ทฤษฎีนี้ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลายสาขา เช่น คณิตศาสตร์ประยุกต์ ชีววิทยา เคมี เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และทฤษฎีเกม ในงานนี้เราสนใจที่จะศึกษาจุดตรึงและวิธีการประมาณค่าจุดตรึงสำหรับการส่งแบบไม่เชิงเส้น โดยลำดับการทำซ้ำถูกสร้างขึ้นตามขั้นตอนวิธีใหม่ด้วยเทคนิคเฉื่อย และวิธีการทำซ้ำผสมแบบใหม่ในปริภูมิบานาค

วัตถุประสงค์แรกของวิทยานิพนธ์นี้ คือ การพิสูจน์ว่าลำดับที่เกิดจากขั้นตอนวิธีแบบใหม่ด้วยเทคนิคเฉื่อยนั้นลู่เข้าอย่างเข้มไปยังจุดตรึงของการส่งแบบไม่ขยายในปริภูมิบานาคนูนแบบเอกรูปค่าจริง ภายใต้การ์โตนอร์มที่สามารถหาอนุพันธ์ได้แบบเอกรูป นอกจากนี้ยังได้ค่าศูนย์ของการส่งแบบแอคครีทีฟ ขั้นตอนวิธีที่นำเสนอนี้ได้ถูกนำไปทดสอบด้วยการจำลองเชิงตัวเลขใน MATLAB ผลการจำลองแสดงให้เห็นว่าอัลกอริทึมลู่เข้าภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสม แสดงให้เห็นถึงประสิทธิภาพของอัลกอริทึมที่ได้นำเสนอ

วัตถุประสงค์ที่สอง เป็นการนำเสนอและศึกษาวิธีการทำซ้ำแบบใหม่ที่เรียกว่า วิธีการทำซ้ำผสมแบบปีการ์ SP (เรียกย่อว่า PSPHM) วิธีการทำซ้ำใหม่นี้เป็นการผสมระหว่างวิธีการทำซ้ำของปีการ์และวิธีการทำซ้ำแบบ SP เราได้ทำการเปรียบเทียบอัตราการลู่เข้าระหว่างวิธีการทำซ้ำที่นำเสนอและวิธีการทำซ้ำอื่น ๆ ทีมีอยู่ โดยให้ตัวอย่างเชิงตัวเลข โดยเฉพาะผลลัพธ์หลักได้แสดงให้เห็นว่า PSPHM ลู่เข้าเร็วกว่า วิธีการทำซ้ำแบบนูร์ และ วิธีการทำซ้ำแบบ SP ในความหมายของเบอร์เลนเด นอกจากนี้ เรายังให้ผลลัพธ์เสถียรสำหรับวิธีการทำซ้ำที่พัฒนาใหม่นี้ ยิ่งไปกว่านั้นยังได้นำวิธีการนำเสนอไปใช้ในการสร้างภาพของโพลิโนมิโอกราฟ

ผลลัพธ์ที่ได้ในวิทยานิพนธ์ฉบับนี้ เป็นการขยาย และวางนัยทั่วไปจากผลลัพธ์ที่มีการศึกษามาก่อนหน้านี้