Efficient optimization algorithms for equilibrium problems applied to data classification

Abstract

Equilibrium problems is very general in the sense that it includes, as special cases, the variational inequality problem, saddle point problems, constrained minimization, complementarity problem, as well as the Nash equilibrium problem. Equilibrium is a fundamental concept across disciplines such as physics, chemistry, biology, and economics, representing a state of balance where opposing forces coexist in harmony to maintain stability. It also plays a critical role in solving real-world problems, including signal recovery, image processing, and machine learning. Our aim in this thesis is to construct five new efficient algorithms for solving equilibrium problems as follows: (i) A modified inertial viscosity extragradient type method for equilibrium problems application to classification of diabetes mellitus: Machine learning methods (ii) A modified viscosity type inertial subgradient extragradient algorithm for nonmonotone equilibrium problems and application to cardiovascular disease detection (iii) An inertial projective Mann algorithm for solving split equilibrium problems classification to Parkinson's disease (iv) A new double relaxed inertial viscosity type algorithm for solving split equilibrium problems application to osteoporosis detection (v) A double inertial Mann algorithm for split equilibrium problems application to breast cancer screening. Under some suitable conditions in Hilbert spaces, the convergence theorems of the proposed algorithms are proved.

ปัญหาค่าสมดุลนั้น เป็นแนวคิดที่กว้างขวาง และมีความครอบคลุม สามารถประยุกต์ใช้ได้กับปัญหาหลายประเภท เช่น ปัญหาอสมการการแปรผัน ปัญหาจุดอานม้า ปัญหาการหาค่าต่ำที่สุดแบบมีเงื่อนไข ปัญหาความสมบูรณ์ และปัญหาค่าสมดุลของแนช ปัญหาค่าสมดุลเป็นแนวคิดพื้นฐานที่มีความสำคัญในหลากหลายสาขาวิชา เช่น ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา และเศรษฐศาสตร์ โดยสะท้อนถึงสภาวะที่แรงตรงข้ามอยู่ร่วมกันได้ เพื่อรักษาความเสถียร และความสมดุลในระบบนั้นๆ นอกจากนี้ยังมีบทบาทสำคัญในการแก้ปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริง เช่น การกู้คืนสัญญาณ การประมวลผลภาพ และการเรียนรู้ของเครื่อง จุดมุ่งหมายของวิทยานิพนธ์นี้ คือ การสร้างอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพ 5 แบบสำหรับแก้ปัญหาค่าสมดุลดังนี้ (1) วิธีการปรับปรุงแบบเอ็กซ์ตร้าเกรเดียนต์เชิงหนืดที่เสริมด้วยเทคนิคเฉื่อยสำหรับการแก้ปัญหาค่าสมดุลเพื่อประยุกต์ใช้กับการจำแนกโรคเบาหวานในวิธีการเรียนรู้ของเครื่อง (2) อัลกอริทึมการปรับปรุงแบบซับเกรเดียนต์เอ็กซ์ตร้าเกรเดียนต์เชิงหนืดที่เสริมด้วยเทคนิคเฉื่อยสำหรับการแก้ปัญหาค่าสมดุลที่ไม่เป็นโมโนโทนเพื่อประยุกต์ใช้ในการจำแนกโรคหัวใจและหลอดเลือด (3) อัลกอริทึมมานน์แบบฉายที่เสริมด้วยเทคนิคเฉื่อยสำหรับการแก้ปัญหาค่าสมดุลแยกส่วนเพื่อประยุกต์ใช้ในการจำแนกโรคพาร์กินสัน (4) อัลกอริทึมแบบหนืดที่เสริมด้วยเทคนิคเฉื่อยผ่อนปรนสองขั้นรูปแบบใหม่สำหรับการแก้ปัญหาค่าสมดุลแยกส่วนเพื่อประยุกต์ใช้ในการจำแนกโรคกระดูกพรุน (5) อัลกอริทึมมานน์ที่เสริมด้วยเทคนิคเฉื่อยสองขั้นสำหรับการแก้ปัญหาค่าสมดุลแยกส่วนเพื่อประยุกต์ใช้ในการตรวจคัดกรองมะเร็งเต้านม โดยทฤษฎีบทการลู่เข้าของอัลกอริทึมที่เสนอทั้งหมดได้ถูกพิสูจน์ภายใต้เงื่อนไขที่เหมาะสมในปริภูมิฮิลเบิร์ต